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数学笔记：傅里叶变换基础

2026-03-12

傅里叶变换基础

本文主要测试博客对 LaTeX 数学公式的支持情况。

欧拉公式

首先回顾一下著名的欧拉公式：

e^{ix} = \cos x + i\sin x

这个公式被费曼称为"数学中最卓越的公式"。

傅里叶变换定义

对于一个连续时间信号 $x(t)$ ，其傅里叶变换 $X(\omega)$ 定义为：

X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt

逆变换定义为：

x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t} d\omega

离散傅里叶变换 (DFT)

在计算机处理中，我们使用离散形式。对于长度为 $N$ 的序列 $x[n]$ ：

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k = 0, 1, \dots, N-1

矩阵运算示例

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

总结

如果上面的公式都能正常显示，说明我们的 KaTeX 配置非常成功！🎉

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欧拉公式
傅里叶变换定义
离散傅里叶变换 (DFT)
矩阵运算示例
总结